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当k≠0时：d_q^kf（0，n）=[n][n?1]...[n?k+1]*（0+y）^（n?k）=[n][n?1]...[n?k+1]*y^（n?k）*q^[（n?k）（n?k?1）2]
然后除以[n?k]!得出：（[n?k][n]）*d_q^kf（0，n）=q^[（n?k）（n?k?1）2]*y^（n?k）
短短两分钟，两个小问便计算完成。
他放下笔，看向第三问，自语一句：“高斯q-二项式推广……”
他的目光定在题目最后一行的恆等式：f（x，n）=∑（k=0到n）d_q^kf（0，n）[k]!*x^k
这一行普通的q-泰勒展开形式，让楚若然想起前阵子余南汐给他讲过的一节高等数学內容——广义冪级数展开和生成函数思想。
“或许……可以换个角度。”
他喃喃自语。
楚若然提起笔，在草稿纸右上角工整地写下：g（y）=（x+y）（x+qy）（x+q2y）…（x+q??1y）=∑a_kx^{n?k}y^k
“g（y）是一个关於x的n次多项式。”
他心中一边推演，一边迅速展开思路，“如果我把这个东西当作一个生成函数对待，也就是说……”
f（x，n）=g（y）=∑（k=0到n）a_kx^{n?k}y^k
他翻到草稿纸背面，继续写：令g（y）=∑_{k=0}^{n}a_kx^{n-k}y^k
那么f（x，n）=∑_{k=0}^{n}a_kx^{n-k}y^k
“也就是说，每个係数a_k都可以通过d_q^kf（0，n）求得。”
他顿了一下，在纸上重新列式：a_k=d_q^kf（0，n）[k]!→f（x，n）=∑_{k=0}^{n}d_q^kf（0，n）[k]!*x^k
“这就是q-泰勒展开的形式。
只不过把普通的导数换成了d?这个q-差分算子。”
他把笔搁在纸上，目光中带著几分兴奋。
“从普通二项式推广到q-二项式，从导数变成q-差分，然后再走回泰勒展开……思路太漂亮了。”
他用指节轻轻敲了敲桌面，扫了一眼趴在桌上熟睡的余南汐：“还是小余老师教得好。
我居然用上高数的知识解高中题。”
说完，他俯身將整段推导工整誊写在一张乾净的a4纸上，落款写上：高三六班楚若然。
数学老师冯宏毅每天早自习结束前都会让课代表收一波做题纸。
他虽是老教师，年纪一大把了，距离退休也只剩一年，但精神头却不输年轻老师。
每次学生交上去的解题纸，他都认真批改，空閒时还会亲自点评，甚至会在课堂上挑出优秀的几份讲解一番。
楚若然写完最后一个字后站起身走到讲台，把那张a4纸放到讲桌上的透明文件袋里。
袋子上写著“冯老师收题”
。
他动作不大，但这个走上讲台的举动却在早自习一片安静中掀起涟漪。
“他交题了？”
“不会吧？这题写在黑板上还没超过五分钟。”
“冯老师那题我才刚看懂第一问，他就写完了？”
一些低声討论开始在教室的前排、中排、小团体间蔓延开。
数学课代表陈浩正低头温习错题集，听到这些討论后下意识抬头。
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