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记P为答对的概率，Q为答错的概率，则可以给出每个被试在每个项目上的反应概率，即
第1位被试在4个项目的得分矩阵U1·=（1100），该被试在每题上作答反应概率为P1·=（P11，P12，Q13，Q14），那么被试具有U1·=（1100）这样一种观察得分联合概率（似然L）为多少呢？如果假设被试在不同题目上的反应概率间相互独立（P11，P12，Q13，Q14彼此独立），则联合概率为
L1·=P11×P12×Q13×Q14。
延伸可得被试i在m个项目上的得分似然为
同理，如果假设不同被试间的得分相互独立，即与不同被试在测验上的得分模式无关，则可得N个被试在第j个项目上得分的似然函数为
根据公式（2.1.16）及公式（2.1.17）可得，所有被试在所有项目上的得分的似然函数为
公式（2.1.18）即为IRT模型的似然函数，IRT模型的参数估计基本上都是建立在似然函数的基础之上，如最大似然估计方法（MaximumLikelihoodEstimation，MLE）是在令似然函数L最大的情况下来估计未知的被试能力参数与项目参数的。
综上，IRT模型对似然函数构建是建立在局部独立（Lodependence）的假设基础上，即在给定特定能力θ条件下：
·在给定被试i的能力条件下，被试i答对第j题与第j′（j≠j′）题的概率相互独立，即p（Xij=1|θi）与p（Xij′=1|θi）相互独立。
·被试i与被试i′（i≠i′）答对项目j的概率相互独立，即p（Xij=1|θi）与p（Xi′j=1|θi′）相互独立。
当然，在实际测量领域中，以上局部独立的假设有时难于满足，比如一道大题由几道小题构成，而若下一道小题的正确完成的前提是上一道小题也正确完成，那么这时被试答对这两道小题的概率就不再满足独立性假设；又比如英文阅读理解题，由于这些题共用一篇短文，而被试对短文材料越熟悉，那该被试在该短文中不同题目间的答对概率也难于满足独立性假设。
为了处理局部独立性假设违背的测量情境，学者们将有相依（Lo-dence，LD）的题目作为一个独立的题组，从而开发出可以处理项目相依的题组反应模型（TestletRespoRM），关于题组反应理论的介绍读者可参考相关文献。
独立性假设只是针对传统IRT模型，而对于题组反应模型则无须这条假设，因此读者同样需要辩证地看待IRT的这条假设。
（三）单调递增性假设
单调递增性假设是指随着被试能力的增加，被试答对项目的概率越大。
这一点可以从Logistic模型的项目特征曲线中反映出来（详见图2-1-1），这种假设在能力测验中比较普遍，如智力测验、学业成就测验中一般都满足这种假设。
这时，我们可以采用Logistic数学函数来解释或预测不同能力被试在项目上的答对概率。
但在非能力测验（如态度测验、人格测验等）中，单调递增性假设难于满足。
现以一个项目例子加以说明，有这样一道试题：
如果用θ代表被试的长相水平，θ越高代表被试长相越好，反之越差。
那么长相水平为θi的被试在这个项目上选择“是的”
选项的概率有大呢？如果采用类似图2-1-1中的Logistic模型来处理的话，则认为θi越高（长相水平越高）的人，选择“是的”
选项的概率越高，这种解释显然与实际不符。
我们知道，长相水平越高（θi越高）或长相越低（θi越低）的被试，选择“是的”
选项的概率都偏低，而只有长相水平一般（θi为中间值）的被试选择“是的”
选项的概率会比较高，参见图2-1-5。
显然，这时被试在项目上的反应概率违背了单调递增性假设。
针对这种情况，学者们开发了展开模型（UnfoldModel，UM），展开模型中其项目特征曲线（ICC）可以不是单调递增曲线，感兴趣的读者可参考相关文献。
图2-1-5ICC非单调性的例子
单调递增性假设只是针对传统IRT模型，而对于展开模型则无须这条假设，因此读者也需要辩证地看待IRT的这条假设。
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