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“第二个问题，霍普夫（HOPF）猜想。”
“整体微分几何的核心问题之一是研究局部不变量和整体不变量的关系，研究曲率和拓扑的关系。
我们来考察曲面S，它上面有度量，也就有Gauss曲率K，如果曲面是紧致无边的话，Gauss曲率K就可以在整个曲面上进行积分。
一个曲面不一定只容有一个度量，可以有另外一个度量，换了度量以后，相应的Gauss曲率K也就变了，但积分值与曲面的度量无关，而只与曲面的Euler不性数x（*5）有关。
这就是Gauss-Bo公式所揭示的深刻内涵。
对高维黎曼流形M，Gauss曲率可以推广为截面曲率，它由黎曼曲率张量所决定，被积函数是由曲率张量组成的很复杂的代数式子，称为Gauss-Bo被积函数，它在整个流形上的积分，应该由这个流形的Euler示性数所决定。
它的内蕴证明是陈省身得到的，后来就称为Gauss_Bo-陈公式。
对紧致无边的偶数维流形M2“，如果它容有非正截面曲率的黎曼度量，那么，它的Euler示性数满足
（-l）nX（M2n）0（1）（当截面曲率为负时，上式为严格不等式）。
这就是著名的Hopf猜想。
迄今，Hopf猜想仅在一些附加条件下得到验证，如截面曲率夹在两个负常数间有工作：Bnon-Karnelly-Xavier以及Jost-Xin间。
Borel对非紧型秩1对称空间证实了猜想。
如果，流形具有KShler度量，在负截面曲率情形，猜想已被Gromov所证实，在非正截面曲率情形则被Jost-Zuc以及Cao-Xavier所证实。”
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“第三个问题，卡普兰斯基第六猜想。”
“卡普兰斯基第六猜想是卡普兰斯基在1975年提出的关于霍普夫代数的十个猜想之一，也是目前霍普夫代数乃至代数学领域研究的前沿问题之一。
霍普夫代数起源于二十世纪四十年代，主要是由霍普夫对Lie群的拓扑性质的公理性研究而建立的一种代数系统。
二十世纪六十年代，Hochschild-Mostow在研究Lie群的应用及后续研究中，发展和丰富了霍普夫的这一代数系统的理论，奠定了霍普夫代数理论的基本框架。
二十世纪八十年代，随着Drinfeld和Jimbo等数学家建立的量子群理论的兴起，人们发现量子群是一类特殊的霍普夫代数。
量子群理论与众多其他数学领域，如低维拓扑、表示论以及非交换几何以及统计力学精确可解模型理论、二维共形场论、角动量量子理论等有着紧密的联系。
量子群理论的兴起也促进了霍普夫代数理论的迅猛发展，围绕卡普兰斯基的十个猜想取得了许多精彩的研究成果，导致其中若干猜想的解决或部分解决。
卡普兰斯基第六猜想设H是代数闭域上的有限维半单霍普夫代数，则H的任一不可约表示的维数整除H的维数.
这一猜想与有限维半单霍普夫代数的分类紧密相关，吸引了众多代数学家的兴趣。
Zhu在1993年利用特征标理论研究了卡普兰斯基第六和第八猜想，得到了部分结果。
Niond在1996年通过分析H的格罗滕迪克群的环结构证明:若H是余半单的且有一个2-维单余模，则H是偶数维的。
1998年，Etingof和Gelaki在研究拟三角半单余半单霍普夫代数的结构和提升问题时证明W:若丑是半单余半单Hopf代数，D{H）是H的Drinfelddouble，则D（H）的不可约表示的维数整除H的维数。
由此他们证明：如果H是拟三角的半单余半单霍普夫代数，则H的不可约表示的维数整除的。”
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